Dobbelt integreret. Opgaver. egenskaber

Problemer, der fører til begrebet "dobbelt integral".

1. Lad fladt plademateriale i hvert punkt i hvilken tæthed er kendt i planet defineret. Vi er nødt til at finde en masse af denne rekord. Da denne plade har klare dimensioner, kan det være anbragt i et rektangel. kan forstås som tætheden af pladen er også dette: på de punkter i det rektangel, der ikke hører til pladen, antager vi, at tætheden er nul. Vi definerer et ensartet brydning på samme antal partikler. Således er den forudbestemte form opdelt i en række rektangler. Overvej en af disse rektangler. Pluk ethvert punkt af rektanglet. I betragtning af beskedne dimensioner af rektanglet vil blive antaget, at massefylden ved hvert punkt af rektanglet er konstant. Derefter massen af en rektangulær partikler, vil blive bestemt som multiplikation af densiteten ved dette punkt i området af et rektangel. Området er kendt, er multiplikation af rektanglet længden af bredden. Og på den koordinat flyet - en ændring med nogle trin. Så massen af hele rekord vil være summen af masserne af disse rektangler. Hvis et sådant forhold gå til grænsen, så kan du få den nærmere fordeling.
2. Vi definerer en rumlig organ, der er afgrænset af oprindelse og en funktion. Vi er nødt til at finde mængden af legemet. Som i det foregående tilfælde, deler vi den region i rektangler. Vi antager, at på de punkter, som ikke hører til domænet, vil funktionen være lig med 0. Lad os overveje en af den rektangulære brudt. Gennem siderne af rektanglet tegne planer, som er vinkelret på akserne for abscisse og ordinat. Vi får parallelepipedumformet som er afgrænset fra neden i forhold til planet af z-aksen, og oven på denne funktion, som blev defineret i problemet. Vælg i midten af rektanglet punkt. På grund af den lille størrelse af rektanglet kan antages, at den funktion inden for denne rektangel har en konstant værdi, så kan du beregne mængden af et rektangel. Et volumen figurer vil være lig med summen af alle mængder af sådanne rektangler. For at få en nøjagtig værdi, skal du gå til grænsen.

Som det fremgår af opgaverne i hvert eksempel, konkluderer vi, at forskellige problemer føre til en overvejelse af de dobbelte mængder af den samme art.

Egenskaber af dobbelte integraler.

Vi udgør problemet. Antag, at der i et vist lukket område gives en funktion af to variable, med dem fra en kontinuerlig funktion. Da området er afgrænset, så det kan placeres i alle rektangel, der fuldstændigt indeholder egenskaberne for et forudbestemt område punkt. Vi deler rektanglet i lige store dele. Vi siger, at den største diameter bryde diagonalen af de resulterende rektangler. Vi vælger nu grænserne for dette rektangel punkt. Hvis du finder værdien på dette punkt er at fastsætte beløbet, så dette beløb vil blive kaldt integral for en funktion i et givent domæne. Grænserne for en sådan integreret sum under de forhold, at diameteren af pausen til at være 0, og antallet af rektangler - uendeligt. Hvis en sådan grænse findes og er ikke afhængig af den metode til at bryde området i rektangler og termvalg, så kaldes - en dobbelt integral.

Den geometriske indhold af dobbelt integral: dobbelt integrale tal tilsvarende volumen af kroppen, som er blevet beskrevet i Opgave 2.

Kendskab til den dobbelte integral (definition), kan du indstille de følgende egenskaber:

1. Den konstante kan tages uden den integrerede tegn.
2. Integralet sum (forskel) er lig med summen (forskel) af integralerne.
3. Af de funktioner vil være mindre end det, den dobbelte integral er mindre.
4. Modulet kan foretages under tegnet af den dobbelte integral.