Et system af lineære algebraiske ligninger. Homogene system af lineære algebraiske ligninger

I skolen, hver af os studerede ligningen og, helt sikkert, at systemet af ligninger. Men ikke mange mennesker ved, at der er flere måder at løse dem. I dag vil vi se præcis alle de metoder, til løsning af et system af lineære algebraiske ligninger, som er sammensat af mere end to ligninger.

historie

I dag ved vi, at kunsten at løse ligninger og deres systemer opstod i det gamle Babylon og Egypten. Men lighed i deres kendte form syntes os efter forekomsten af lighedstegnet "=", som blev indført i 1556 af engelske matematiker rekord. Af den måde, var dette symbol valgt til en årsag: det betyder to parallelle lige segmenter. Faktisk betyder det bedste eksempel på lighed ikke komme op.

Grundlæggeren af moderne bogstaver og symboler af ukendt omfang, den franske matematiker Fransua Viet. Men dens betegnelse er væsentligt anderledes end i dag. For eksempel, han en firkant med et ukendt antal betegnet med bogstavet Q (lat "quadratus".), Og kuben - (. Lat "Cubus") bogstavet C. Disse symboler nu synes ubehageligt, men så var det den mest intuitive måde at skrive et system af lineære algebraiske ligninger.

en ulempe i de fremherskende fremgangsmåder til opløsningen var imidlertid, at matematikere har overvejet kun de positive rødder. Måske er det på grund af det faktum, at negative værdier ikke har nogen praktisk anvendelse. En anden måde, eller, men den første til at blive betragtet som negative rødder begyndte efter de italienske matematik Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano og Raphael Bombelli i det 16. århundrede. En moderne look, den vigtigste metode til at løse kvadratiske ligninger (gennem diskriminant) blev oprettet kun i det 17. århundrede gennem værker af Descartes og Newton.

I midten af det 18. århundrede schweiziske matematiker fundet Gabriel Cramer en ny måde at gøre løsningen af systemer af lineære ligninger lettere. Denne metode blev senere opkaldt efter ham, og den dag i dag bruger vi det. Men på den metode Kramers tale lidt senere, men for nu vil vi diskutere lineære ligninger og deres løsninger adskilt fra systemet.

lineære ligninger

Lineære ligninger - den enkleste ligning med variabel (s). De tilhører den algebraiske. Lineære ligninger er skrevet i den generelle form som følger: a ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... og _n * x _n = b. Indsendelse af denne formular vi har brug for i forberedelsen af systemer og matricer på.

Et system af lineære algebraiske ligninger

Definitionen af dette begreb er: et sæt af ligninger, der har fælles ubekendte og den generelle løsning. Typisk, i skolen alle løst et system med to eller endda tre ligninger. Men der er systemer med fire eller flere komponenter. Lad os se først hvordan man skriver dem ned, så senere var det praktisk at løse. For det første vil systemet af lineære algebraiske ligninger se bedre, hvis alle variable er skrevet som x med den tilsvarende indeks: 1,2,3 og så videre. For det andet bør det føre alle ligningerne til kanoniske form: en ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... og _n * x _n = b.

Efter alle disse trin, kan vi begynde at fortælle dig, hvordan du finde løsningen af systemer af lineære ligninger. Meget meget for der vil komme i handy matrix.

matrix

Matrix - en tabel, der består af rækker og kolonner, og dens elementer er på deres skæringspunkt. Dette kan enten være en bestemt værdi eller variabel. I de fleste tilfælde til at betegne elementer, der er anbragt under indekserne (fx en ₁₁ eller ₂₃ brønd). Det første indeks angiver rækkenummeret, og den anden - søjlen. Ovennævnte matrixer som ovenfor og enhver anden matematisk element kan udføre forskellige operationer. Således kan du:

1) Træk og tilsæt den samme størrelse af bordet.

2) Gang matricen til et vilkårligt antal eller vektor.

3) Transponering: transformation matrix linjer i søjlerne, og søjlerne - på linje.

4) Multiplicer matrix, hvis antallet af rækker er lig med en af dem et andet antal søjler.

At diskutere i detaljer alle disse teknikker, da de er nyttige for os i fremtiden. Subtraktion og tilsætning af matricer er meget enkel. Da vi tage den samme størrelse matrix, hvert element i en tabel er relateret til hver anden element. Således tilføjer vi (trække) to af disse elementer (det er vigtigt, at de stod på den samme jord i deres matricer). Når det ganges med antallet af matrix eller vektor du blot gange hvert element i matrixen ved dette nummer (eller vektor). Gennemførelse - en meget interessant proces. Meget interessant nogle gange at se ham i det virkelige liv, for eksempel når at ændre orienteringen af en tablet eller telefon. Ikonerne på skrivebordet er en matrix, og med en ændring af position, er det gennemført og bliver bredere, men aftager i højden.

Lad os undersøge mere en proces, såsom matrix multiplikation. Selvom han fortalte os, og er ikke nyttigt, men vær opmærksom på det er stadig nyttigt. Multiplicer to matricer kan være kun på den betingelse, at antallet af kolonner i én tabel er lig med antallet af andre rækker. Nu tager en matrix linieelementer og andre elementer i den tilsvarende kolonne. Multiplicerer dem med hinanden og derefter sum (det vil sige for eksempel et produkt af elementer ₁₁ og ₁₂ og ved ₁₂ b og ₂₂ b vil være lig med: a * b _{11 12} + ₁₂ * b og _22). Således er en enkelt tabel element, og en fremgangsmåde svarende til den fyldt yderligere.

Nu kan vi begynde at overveje, hvordan man kan løse systemer af lineære ligninger.

Gauss

Dette tema begyndte at finde sted i skolen. Vi ved godt, at begrebet "system med to lineære ligninger" og ved, hvordan man løser dem. Men hvad hvis antallet af ligninger er større end to? Dette vil hjælpe os Gauss metode.

Selvfølgelig er denne metode er bekvemt at bruge, hvis du laver en matrix af systemet. Men du kan ikke konvertere det og beslutte på egen hånd.

Så, hvordan man kan løse det ved et system af lineære ligninger Gauss? Af den måde, selvom denne metode, og opkaldt efter ham, men opdagede det i oldtiden. Gauss har en operation udført med ligningerne til sidst resultere i helheden til echelonformen. Det vil sige, du har brug for at top-down (hvis korrekt placere) fra den første til den sidste ligning aftaget en ukendt. Med andre ord, vi skal sørge for, at vi har fået, siger, tre ligninger: den første - tre ubekendte, i den anden - to i den tredje - en. Så, fra den sidste ligning, finder vi den første ukendte, sætte sin værdi i den anden eller den første ligning, og yderligere finde de resterende to variabler.

Cramers regel

For udviklingen af denne teknik er afgørende for at mestre de færdigheder af addition, subtraktion af matricer, samt behovet for at være i stand til at finde determinanter. Derfor, hvis du ikke er tryg at gøre alt dette eller ikke ved, hvordan, er det nødvendigt at lære og blive uddannet.

Hvad er essensen af denne metode, og hvordan man kan gøre det, for at få et system af lineære ligninger Cramer? Det er meget simpelt. Vi nødt til at bygge en matrix af tal (næsten altid) koefficienterne i et system af lineære algebraiske ligninger. For at gøre dette, skal du blot tage nummeret på den ukendte, og vi arrangere en tabel i den rækkefølge, de er registreret i systemet. Hvis før nummeret er et tegn "-", så skriv vi negativ koefficient. Så vi lavede den første matrix af koefficienterne for de ubekendte, ikke herunder antallet efter lighedstegnet (selvfølgelig, at ligningen skal reduceres til den kanoniske form, når den rigtige er bare et tal, og venstre - alle ubekendte med koefficienter). Så har du brug for at foretage et par matricer - en for hver variabel. Til dette formål, i den første matrix erstattes af en kolonne hver kolonne numre med koefficienterne efter lighedstegnet. Således får vi et par matricer og derefter finde deres determinanter.

Efter vi fandt kvalifikationen, det er lille. Vi har en indledende matrix, og der er flere afledte matricer, som svarer til forskellige variabler. For at få en systemløsning, deler vi den afgørende faktor for den resulterende tabel på den primære faktor for bordet. Det endelige antal er værdien af en variabel. Ligeledes finder vi alle de ubekendte.

andre metoder

Der er flere metoder for at opnå den opløsning af systemer af lineære ligninger. For eksempel en såkaldt Gauss-Jordan metoden, som anvendes til at finde løsninger med det system kvadratiske ligninger, og angår også anvendelsen af matrixer. Der er også en Jacobi metode til at løse et system af lineære algebraiske ligninger. Han nemt tilpasser sig alle computere og bruges i computing.

komplicerede sager

Kompleksitet sker normalt, hvis antallet af ligninger er mindre end antallet af variable. Så kan vi helt sikkert sige, eller systemet er inkonsistent (dvs. ikke har nogen rødder), eller antallet af dens beslutninger har en tendens til uendeligt. Hvis vi har det andet tilfælde - er det nødvendigt at skrive den generelle løsning af systemet af lineære ligninger. Det vil omfatte mindst en variabel.

konklusion

Her kommer vi til enden. For at opsummere: vi nødt til at forstå, hvad systemet matrix, lært at finde den generelle løsning af et system af lineære ligninger. Derudover overvejede vi andre muligheder. Vi regnede ud, hvordan man løser systemer af lineære ligninger: Gauss elimination og Cramers regel. Vi talte om vanskelige sager og andre måder at finde løsninger.

Faktisk er dette spørgsmål er langt mere omfattende, og hvis du ønsker at bedre at forstå det, vi råde dig til at læse mere af den specialiserede litteratur.