Lineær og homogen differentialligning af første orden. eksempler på løsninger

Jeg synes, vi skal starte med historien om den herlige matematiske værktøj som differentialligninger. Ligesom alle differentialet og integralregning, blev disse ligninger opfundet af Newton i slutningen af det 17. århundrede. Han mente, at det var hans opdagelse så vigtig, at selv den krypterede meddelelse, som i dag kan oversættes som følger: "Alle naturlovene beskrevet af differentialligninger" Det kan synes en overdrivelse, men det er sandt. Enhver lov af fysik, kemi, biologi, kan beskrives ved disse ligninger.

En enorm bidrag til udviklingen og skabelsen af teorien om differentialligninger har matematik Euler og Lagrange. Allerede i det 18. århundrede, de opdaget og udviklet det, der nu studerer ved senior universitetskurser.

En ny milepæl i studiet af differentialligninger begyndte takket være Anri Puankare. Han skabte en "kvalitativ teori om differentialligninger", hvilket kombineret med teorien om funktioner af komplekse variabler bidraget væsentligt til grundlæggelsen af topologi - videnskaben om rummet og dets egenskaber.

Hvad er differentialligninger?

Mange mennesker er bange for udtrykket "differentialligning". Men i denne artikel vil vi nærmere beskrevet essensen af denne meget nyttige matematiske værktøj, som er faktisk ikke så kompliceret som det ser ud fra titlen. For at begynde at tale om en første ordens differentialligning, skal du først stifte bekendtskab med de grundlæggende begreber, der er i sagens natur forbundet med denne definition. Og vi starter med forskellen.

forskellen

Mange mennesker kender dette begreb siden high school. Men stadig dvæle ved det i detaljer. Forestille grafen for funktionen. Vi kan øge det i en sådan grad, at nogen af sit segment bliver en lige linje. Det vil tage to punkter, som er uendeligt tæt på hinanden. Forskellen mellem deres koordinater (x eller y) er forsvindende. Og det kaldes differentieret og tegn udpege dy (forskellen i y) og dx (differentialet af x). Det er vigtigt at forstå, at forskellen ikke er den ultimative værdi, og det er meningen og den vigtigste funktion.

Og nu skal du overveje følgende elementer, som vi bliver nødt til at forklare differentialligningen koncept. Det - derivat.

derivat

Alle os må have hørt i skolen og dette begreb. De siger, at det afledte - er væksten eller fald i funktion. Men denne definition bliver mere forvirrende. Lad os prøve at forklare de afledte forhold til de forskelle. Lad os gå tilbage til den uendelig lille interval funktion med to punkter, som er placeret på et minimum afstand fra hinanden. Men selv ud over denne afstand funktion er tid til at skifte til en vis værdi. Og for at beskrive, at forandring og komme op med et derivat, der ellers ville blive skrevet som forholdet mellem de forskelle: f (x) '= df / dx.

Nu er det nødvendigt at overveje de grundlæggende egenskaber for den afledede. Der er kun tre:

1. Derivat sum eller forskellen kan repræsenteres som summen eller differencen af derivaterne: (a + b) '= a' + b 'og (ab)' = a'-b'.
2. Den anden ejendom er forbundet med multiplikation. Afledte værker - er summen af værker af én funktion til en anden derivat: (a * b) '= a' * b + a * b'.
3. Derivatet af forskellen kan skrives som følgende ligning: (a / b) = (a '* ba * b ') / b ^2.

Alle disse funktioner kommer i handy for at finde løsninger på differentialligninger af første orden.

Der er også partielle afledede. Antag, at vi har en funktion af z, som afhænger af de variable x og y. For at beregne den partielle afledede af denne funktion, for eksempel i x, er vi nødt til at tage den variable y for konstant og let at skelne.

integreret

En anden vigtig begreb - integral. Det er faktisk det modsatte af derivatet. Integraler er flere typer, men de enkleste løsninger af differentialligninger, vi har brug for de mest trivielle udefinerbar integraler.

Så hvad er det integral? Lad os sige, at vi har en vis forbindelse f af x. Vi tager fra det integrerende og opnå en funktion F (x) (det er ofte omtalt som en primitiv), som er et derivat af den oprindelige funktion. Derfor F (x) '= f (x). Dette indebærer også, at integralet af derivatet er lig med den oprindelige funktion.

Ved løsning af differentialligninger er det meget vigtigt at forstå betydningen og funktionen af det integrerede, da meget ofte nødt til at tage dem med at finde løsninger.

Ligningerne er forskellige afhængigt af deres natur. I det næste afsnit vil vi se på typer af første ordens differentialligninger, og derefter lære, hvordan man løser dem.

Klasser af differentialligninger

"Diffury" divideret med rækkefølgen af derivater, der er involveret i dem. Der er således en første, anden, tredje eller flere ordre. De kan også opdeles i flere klasser: sædvanlige og partielle.

I denne artikel, vil vi overveje de almindelige differentialligninger af første orden. Eksempler og løsninger, vi diskuterer i de følgende afsnit. Vi anser kun TAC, fordi det er de mest almindelige typer af ligninger. Almindelig opdelt i underarter: med adskillelige variabler, homogene og heterogene. Herefter vil du lære, hvordan de adskiller sig fra hinanden, og lære, hvordan man løser dem.

Desuden kan disse ligninger kombineres, så der efter vi får et system af differentialligninger af første orden. Sådanne systemer, vi også se på og lære at løse.

Hvorfor vi overvejer kun den første ordre? Fordi det er nødvendigt at starte med en enkel og beskrive alle forbundet med differentialligninger, i en enkelt artikel er det umuligt.

Ligninger med adskillelige variabler

Dette er måske den mest simple første ordens differentialligninger. Disse er eksempler, der kan skrives som: y '= f (x) * f (y). For at løse denne ligning har vi brug repræsentation formel af derivatet som forholdet mellem forskellene: y '= dy / dx. Med det får vi ligningen: dy / dx = f (x) * f (y). Nu kan vi vende til metode til at løse standard eksempler: adskille variablerne i dele, det vil sige hurtigt fremad al den variable y i den del, hvor der er dy, og også gøre den variable x ... Vi opnå en ligning af formen: dy / f (y) = f (x) dx, hvilket opnås ved at tage de integralerne for de to dele. Glem ikke om den konstante, at du ønsker at sætte efter integration.

Løsningen af en hvilken som helst "diffura" - er en funktion af x ved y (i vores tilfælde), eller hvis der er en numerisk tilstand, er svaret et tal. Lad os undersøge et konkret eksempel hele forløbet af beslutningen:

y '= 2y * sin (x)

Overfør variabler i forskellige retninger:

dy / y = 2 * sin (x) dx

Nu tager integralerne. Alle af dem kan findes i en særlig tabel over integraler. Og vi får:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Hvis det er nødvendigt, kan vi udtrykke "y" som en funktion af "X". Nu kan vi sige, at vores differentialligning er løst, hvis ikke angivet tilstand. Kan specificeres tilstand, fx y (n / 2) = e. Så vil vi blot erstatte værdien af disse variabler i afgørelsen og finde værdien af konstanten. I vores eksempel er det en.

Homogene første ordens differentialligninger

Nu til de mere komplekse dele. Homogene første ordens differentialligninger kan skrives i generelle form som: y '= z (x, y). Det skal bemærkes, at den rette funktion af to variabler er ensartet, og det kan ikke deles i to afhængig af: z x og z for y. Kontroller, om ligningen er homogen eller ej, er ganske enkel: vi laver substitution x = k * x og y = k * y. Nu skæres vi alle k. Hvis disse breve er faldet, så ligningen homogene og kan trygt gå videre til dets løsning. Fremadrettet siger vi: princippet om løsningen af disse eksempler er også meget enkel.

Vi er nødt til at gøre udskiftning: y = t (x) * x, hvor t - en funktion, der også afhænger af x. Så kan vi udtrykke derivatet: y '= t' (x) * x + t. Substituere alt dette ind i vores oprindelige ligning og forenkle det, har vi eksemplet med adskillelsen af variable t som x. Løse det og få afhængigheden af t (x). Da vi fik det, skal du blot erstatte vores tidligere substitution y = t (x) * x. Så får vi den afhængighed af y på x.

For at gøre det klarere, skal vi forstå et eksempel: x * y '= yx * e y / x.

Ved kontrol af udskiftning af alle faldende. Så ligningen er virkelig homogen. Nu gør en anden udskiftning, vi talte om: y = t (x) * x og y '= t' (x) * x + t (x). Efter forenkling følgende ligning: t '(x) * x = -e t. Vi beslutter at få en prøve med adskilte variable og vi ^{får: e -t = ln (C *} x). Vi skal bare nødt til at erstatte t med y / x (fordi hvis y = t * x, så t = y / x), og vi får ^{svaret: e -y / x = ln (} x * C).

Lineær differentialligning af første orden

Det er tid til at overveje en anden bredt emne. Vi vil se heterogene førsteordens differentialligninger. Hvordan adskiller de sig fra de to foregående? Lad os se det i øjnene. Lineære førsteordens differentialligninger i den generelle form af ligningen kan skrives således: y '+ g (x) * y = z (x). Det bør præciseres, at z (x) og g (x) kan være konstante værdier.

Her er et eksempel: y '- y * x = x ^2.

Der er to måder at løse, og vi bestiller Lad os undersøge dem begge. Den første - metoden til variation af arbitrære konstanter.

At løse ligningen på denne måde, er det nødvendigt at sidestille den første højre side til nul, og løse den resulterende ligning, som efter overførslen af dele bliver:

y '= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = xdx;

ln | y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{x2 / 2} * ^C y = _C1 * e ^{x2 / 2.}

Nu er det nødvendigt at erstatte den konstante _C1 på funktionen v (x), som vi vil finde.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Tegn en udskiftning derivat:

^{y '= v' * e x2} / ^2-x * v * e ^{x2 / 2.}

Og erstatte disse udtryk i den oprindelige ligning:

v '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Du kan se, at i den venstre side af de to begreber er reduceret. Hvis nogle eksempel, der skete ikke, så har du gjort noget forkert. Vi fortsætter med at:

v '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Nu løser vi den sædvanlige ligning, hvor du ønsker at adskille variable:

dv / dx = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

dv = x ² * e ^{- x2 / 2} dx.

For at fjerne den integrerede, vi nødt til at anvende den delvis integration her. Men dette er ikke emnet for denne artikel. Hvis du er interesseret, kan du lære på egen hånd at udføre sådanne handlinger. Det er ikke svært, og med nok dygtighed og omhu er ikke tidskrævende.

Under henvisning til den anden metode løsningen af de inhomogene ligninger: Bernoulli metode. Hvad tilgang er hurtigere og nemmere - det er op til dig.

Så når de løser denne metode, er vi nødt til at gøre udskiftning: y = k * n. Her, k og n - nogle funktioner, afhængig af x. Så den afledede vil se ud: y '= k' * n + k * n'. Erstatningsprodukter to substitutioner i ligningen:

k '* n + k * n ' + x * k * n = x ^2.

Gruppe op:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

Nu er det nødvendigt at svare til nul, der er i parentes. Nu, hvis du kombinerer de to resulterende ligninger, får vi et system af første ordens differentialligninger, der skal løses:

n '+ x * n = 0;

k '* n = x ^2.

Den første lighed beslutte, hvordan den sædvanlige ligning. For at gøre dette, er du nødt til at adskille variable:

dn / dx = x * v;

dn / n = xdx.

Vi tager den integrerende og får vi: ln (n) = x ^2/2. Så, hvis vi udtrykker n:

n = e ^{x2 / 2.}

Nu erstatte den resulterende ligning ind i den anden ligning:

k '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Og transformation, vi opnå den samme ligning som i den første metode:

dk = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Vi vil heller ikke diskutere yderligere tiltag. Det siges, at opløsningen ved først førsteordens differentialligninger forårsager betydelige vanskeligheder. Men en dybere fordybelse i emnet begyndt at blive bedre og bedre.

Hvor er differentialligninger?

Meget aktive differentialligninger anvendes i fysik, da næsten alle de grundlæggende love er skrevet i differential form, og de formler, som vi ser - en løsning på disse ligninger. I kemi, bruges de af samme grund: de grundlæggende love er afledt gennem dem. I biologi, er differentialligninger anvendes til at modellere adfærd systemer, såsom rovdyr - bytte. De kan også bruges til at lave modeller for reproduktion, for eksempel kolonier af mikroorganismer.

Som differentialligninger hjælpe i livet?

Svaret på dette spørgsmål er enkelt: intet. Hvis du ikke er en videnskabsmand eller ingeniør, er det usandsynligt, at de vil være nyttige. Men ikke ondt at vide, hvad differentialligningen, og det er løst for den overordnede udvikling. Og så er spørgsmålet om en søn eller datter, "hvad en differentialligning?" ikke sætte dig i en blindgyde. Tja, hvis du er en videnskabsmand eller ingeniør, så ved du, hvor vigtigt dette emne i enhver videnskab. Men vigtigst af alt, at nu på spørgsmålet "hvordan man løser differentialligningen af den første ordre?" du vil altid være i stand til at give et svar. Enig, det er altid rart, når man indser, at hvad folk er selv bange for at finde ud af.

De væsentligste problemer i undersøgelsen

Det største problem i forståelsen af dette emne er en dårlig vane med integration og differentiation funktioner. Hvis du ikke er tryg ANTAG derivater og integraler, er det sandsynligvis mere værd at lære, at lære forskellige metoder til integration og differentiering, og først derefter gå videre til studiet af det materiale, der er blevet beskrevet i artiklen.

Nogle mennesker er overrasket over at erfare, at dx kan overføres, som tidligere (i skole) hævdede, at den del dy / dx er udelelig. Så har du brug for at læse litteratur på derivat og forstå, at det er forholdet mellem de uendeligt små mængder, der kan manipuleres til at løse ligninger.

Mange mennesker er ikke umiddelbart klar over, at løsningen af differentialligninger af første orden - det er ofte en funktion eller neberuschiysya integreret, og denne vildfarelse giver dem en masse besvær.

Hvad andet kan studeres til bedre at forstå?

Det er bedst at starte yderligere fordybelse i en verden af differentialregning af specialiserede lærebøger, for eksempel i matematisk analyse for studerende på ikke-matematiske specialiteter. Du kan derefter flytte til den mere specialiserede litteratur.

Det siges, at der ud over den differentierede, er der stadig integrerende ligninger, så du vil altid have noget at stræbe efter, og hvad de skal studere.

konklusion

Vi håber, at efter at have læst denne artikel vil du have en idé om, hvad de differentialligninger og hvordan man løser dem korrekt.

Under alle omstændigheder, matematik på nogen måde nyttige for os i livet. Det udvikler logik og opmærksomhed, uden hvilken enhver mand, som uden hænder.