Derivater numre: beregningsmetoder og eksempler

Måske begrebet derivat er velkendt for os alle siden high school. Normalt studerende har svært ved at forstå dette er uden tvivl en meget vigtig ting. Det bruges aktivt i forskellige områder af folks liv, og mange teknik var baseret netop på matematiske beregninger, der er opnået ved den afledede. Men før man går videre til en analyse af, hvad der er et derivat af numre, som de beregner, og hvor de vil komme i handy, dykke en lille smule ind i historien.

historie

Begrebet derivat, som er grundlaget for matematisk analyse, var åben (endnu bedre til at sige "opfundet", fordi det er som sådan ikke findes i naturen) Isaakom Nyutonom, som vi alle kender fra opdagelsen af tyngdeloven. Det var ham, der først brugt dette koncept i fysik for den bindende karakter af den hastighed og acceleration af organer. Og mange forskere stadig rose Newton for denne pragtfulde opfindelse, fordi det faktisk han opfandt grundlaget for forskellen og integralregning, det faktuelle grundlag for hele området for matematikken kaldes "matematisk analyse". Hvad enten på det tidspunkt, Nobelprisen, Newton sandsynligvis ville have modtaget det et par gange.

Ikke uden andre store hjerner. Ud over Newton på udviklingen af afledte og integrerede arbejdet sådanne fremtrædende genier matematik som Leonhard Euler, Lagrange og Louis Gotfrid Leybnits. Det er takket være dem, vi har teorien om differentialregning i den form, som den eksisterer den dag i dag. I øvrigt, det er Leibniz opdagede den geometriske betydning af derivat, som ikke var noget mere end hældningen af tangenten til grafen for funktionen.

Hvad er et derivat af tal? Bit gentage, hvad der skete i skolen.

Hvad er et derivat?

Definer dette koncept på flere forskellige måder. Den enkleste forklaring: Derivater - det er graden af ændring funktion. Repræsenterer grafen for en funktion y af x. Hvis det ikke er lige, har det nogle kurver i grafen, perioder med stigning og fald. Hvis du tager nogen uendelig lille interval af tidsplanen, vil det være en lige linje segment. Så er forholdet mellem størrelsen af en uendelig lille segment af y til størrelsen af x-koordinaten, og vil være et derivat af funktionen på et givet sted. Hvis vi betragter funktionen som en helhed, snarere end på et bestemt punkt, vi får en funktion af derivat, dvs. en vis afhængighed af X-y.

Derudover bortset fra fysiske betydning af derivatet som en funktion af hastigheden af ændringen, er der også en geometrisk forstand. På det, vi nu diskuterer.

Den geometriske betydning

Derivater numre selv er et bestemt antal, som ikke er en korrekt forståelse medfører ikke nogen betydning. Det viser sig, at derivatet ikke alene viser vækstraten eller formindske funktionen, og hældningen af tangenten til grafen for funktionen ved dette punkt. Ikke helt klar definition. Lad os undersøge det i detaljer. Antag, at vi har en graf for en funktion (at tage rentekurve). Det har et uendeligt antal point, men der er områder, hvor kun et enkelt punkt har et maksimum eller minimum. Gennem en sådan punkt, kan du tegne en lige linje, som ville være vinkelret på grafen for funktionen på det tidspunkt. Denne linje vil blive kaldt en tangent. Antag, at vi holdt den op til skæringspunktet med aksen OX. Således opnåede mellem tangenten og aksen OX og vinkel vil blive bestemt af derivatet. Mere specifikt vil tangens af denne vinkel være lig med det.

Lad os snakke lidt om de særlige tilfælde og derivater Lad os undersøge tallene.

Særlige tilfælde

Som vi allerede har nævnt, derivater af numre - et derivat værdi på et bestemt punkt. Her, for eksempel tage funktionen y = x ^2. Differentialkvotienten af x - tal, men generelt - en funktion svarende til 2 * x. Hvis vi nødt til at beregne differentialkvotienten, for eksempel ved punktet x ₀ = 1, får vi y '(1) = 2 * 1 = 2. Det er meget simpelt. Et interessant tilfælde er differentialkvotienten af det komplekse tal. At gå ind i en detaljeret forklaring på, hvad et komplekst tal, vil vi ikke. Lad det være nok at sige, at dette tal, som indeholder den såkaldte imaginære enhed - antallet, hvis pladsen er lig med -1. Beregningen af denne derivat er kun mulig under følgende betingelser:

1) Der skal være første ordens partielle afledede af de reelle og imaginære dele af y og X.

2) betingelserne for Cauchy-Riemann forbundet med lighed delvis beskrevet i det første afsnit.

En anden interessant tilfælde, men ikke så kompliceret som den foregående, er et derivat af et negativt tal. I virkeligheden, kan eventuelle negative tal repræsenteres som en positiv, multipliceret med -1. Nå, derivatet og den konstante funktion svarende til en konstant ganget med den afledede af funktionen.

Det vil være interessant at lære om den rolle, derivater i deres dagligdag, og det er nu, og diskutere det.

ansøgning

Sandsynligvis hver af os mindst en gang i livet fange mig selv at tænke, at matematik er usandsynligt, at være nyttige for ham. Og sådan en kompliceret ting som den afledede har sandsynligvis ingen brug. Faktisk matematik - grundlæggende videnskab, og alle dens frugter udvikler hovedsageligt fysik, kemi, astronomi og endda økonomien. Afledte markerede begyndelsen på matematisk analyse, som gav os mulighed for at drage konklusioner fra de grafer af funktioner, og vi har lært at fortolke naturens love og vende dem til deres fordel på grund af det.

konklusion

Selvfølgelig kan ikke alle være nyttige for den afledede i det virkelige liv. Men matematik udvikler logik der vil helt sikkert brug for. Ikke for ingenting, fordi matematik kaldes dronningen af videnskaber: det består af en grundlæggende forståelse af andre vidensområder.