Differentialregning af funktioner af en og flere variable

Differentialregning er en gren af matematisk analyse, der undersøger derivat, differentialer og deres anvendelse i studiet af funktioner.

Historien om

Differentialregning opstod som en selvstændig disciplin i den anden halvdel af det 17. århundrede, takket være det arbejde, Newton og Leibniz, der formulerede de grundlæggende bestemmelser i beregningen af differentialer og bemærket sammenhængen mellem integration og differentiering. Siden disciplin udviklede han sammen med beregningen af integraler, og dermed udgør grundlaget for den matematiske analyse. Fremkomsten af disse calculi åbnet en ny moderne periode i den matematiske verden og forårsagede fremkomsten af nye discipliner inden for naturvidenskab. Også udvidet muligheden for at anvende matematik i naturvidenskab og teknik.

grundlæggende begreber

Differentialregning er baseret på de grundlæggende begreber i matematik. De er: et reelt tal, kontinuitet og grænsen for funktionen. Efter en tid, har de taget et moderne udseende, takket være den integrerede og differentialregning.

Processen med at skabe

Dannelse af differentialregning i form af en ansøgning, og derefter den videnskabelige metode skete før fremkomsten af filosofisk teori, der blev skabt af Nikolay Kuzansky. Hans arbejde anses for at være en evolutionær udvikling fra den gamle videnskab om dom. På trods af at filosoffen selv ikke var en matematiker, hans bidrag til udviklingen af matematiske videnskab er ubestridelig. Cusa, en af de første ud af behandlingen af aritmetiske som den mest præcise videnskab, matematik sætte gang i tvivl.

I gamle matematikere universel kriterium var en enhed, mens den foreslået som en ny foranstaltning uendeligt filosof returnere det nøjagtige antal. I forbindelse med denne omvendte repræsentation af nøjagtighed i matematisk videnskab. Videnskabelig viden, efter hans mening, er opdelt i rationel og intelligent. Den anden er mere præcis, ifølge forskeren, idet førstnævnte giver kun omtrentlige resultater.

idé

Den grundlæggende idé og begrebet differentialregning i forbindelse med funktionen i et lille kvarter af visse punkter. Til dette er det nødvendigt at skabe en matematisk apparat til at fungere undersøgelser hvis adfærd i et lille kvarter af punkter, der er installeret tæt på opførslen af en lineær funktion eller et polynomium. Baseret på denne definition af derivat og differentieret.

Fremkomsten af begrebet derivatet skyldes et stort antal problemer i naturvidenskab og matematik, hvilket førte til bestemmelsen af grænseværdier for den samme type.

En af de vigtigste opgaver, der er givet som et eksempel, begyndende med de ældste skoleklasser, er at bestemme hastigheden af bevægelsen af et punkt i en lige linje og konstruktionen af tangenten til denne kurve. Differentialet knyttet til dette, da det er muligt at approksimere funktion i en lille kvarter af punktet af en lineær funktion.

Sammenlignet med begrebet derivat af en funktion af en reel variabel, definitionen af differentialer blot passerer på funktionen af generel karakter, især billedet af et euklidisk rum til et andet.

derivat

Lad det punkt bevæger sig i retning af y-aksen, for den tid, vi tager x, som er målt fra begyndelsen af et øjeblik. Beskriver en sådan bevægelse er mulig ved funktionen y = f (x), som er forbundet til hvert tidspunkt X-koordinaterne forskydelig punkt. Denne funktion opkald i mekanik til at tage loven i bevægelse. Den vigtigste egenskab af bevægelsen, især ujævn, er den øjeblikkelige hastighed. Når punktet bevæges langs y-aksen ifølge loven af mekanik, det tilfældige tidspunkt erhverver koordinat x f (x). I tidspunktet x + Ah, hvor Ah betegner tilvæksten i tid, vil det kordinaty f (x + Ah). Således dannede formel Ay = f (x + Ah) - f (x), som kaldes en tilvækst funktion. Det er et punkt af stien gennemløbes i den tid fra x til x + Ah.

I forbindelse med forekomsten af hastigheden ved tidspunktet derivatet indgives. Den afledte af enhver funktion på et fast punkt kaldes grænsen (hvis den findes). Det kan blive henvist til bestemte tegn:

f '(x), y', y, df / dx, dy / dx, Df (x).

Fremgangsmåden til beregning af derivat af opkaldsdifferentiering.

Differentialregning af funktioner af flere variable

Denne metode anvendes, når beregningsfunktion undersøgelse, flere variable. Når der er to variable x og y, den partielle afledede med hensyn til x ved punktet A kaldes differentialkvotienten af denne funktion i x med en fast y.

Kan angives med følgende symboler:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x og ∂f (x, y) '/ ∂x.

Nødvendige færdigheder

For at kunne lære og være i stand til at løse diffury nødvendige færdigheder i integration og differentiering. For at gøre det lettere at forstå de differentialligninger, skal forstås emne derivat og ubestemt integral. Også gør ikke ondt at lære at kigge efter den afledede af den implicitte funktion. Dette skyldes det faktum, at i processen med læring vil ofte bruge integraler og differentiering.

Typer af differentialligninger

Næsten alle kontrol arbejde i forbindelse med første ordens differentialligninger, der er 3 typer af ligninger: homogene, med adskillelige variable, lineære inhomogene.

Der er også mere sjældne arter ligninger med samlede differentialer, Bernoullis ligning, og andre.

Fundamentals løsninger

Til at begynde, vi skal huske, er algebraisk ligning af en skole selvfølgelig. De indeholder de variabler og tal. For at løse den konventionelle ligning bør finde masser af tal, der opfylder en bestemt betingelse. Typisk er disse ligninger har en rod, og til validering bør kun erstatte denne værdi på plads ukendt.

Differentialligningen ligner dette. I almindelighed en ligning af første orden omfatter:

• Uafhængig variabel.
• Et derivat af den første funktion.
• Funktion eller afhængig variabel.

I nogle tilfælde kan der ikke være nogen ukendt, x eller y, men det er ikke så vigtigt som det er nødvendigt at have den første afledede, uden højere ordens derivater til opløsningen, og differentialregning var sandt.

Løs differentialligningen - det vil sige at finde det sæt af alle funktioner, der er egnet til udtryk. Sådanne sæt af funktioner kaldes ofte den generelle løsning kontrol.

integralregning

Integralregning er en af de dele af matematisk analyse, der undersøger begrebet integrale, egenskaber og fremgangsmåder til beregningen.

Ofte beregningen af integralet opstår, når beregne arealet af en krum form. På denne måde en grænse område, mod hvilken et forudbestemt område af den indskrevne polygon form med en gradvis stigning i hånden, og de data side kan gøres mindre end nogen tidligere angivet arbitrær lille værdi.

Hovedidéen i beregningen af området med hvilken som helst geometrisk form er beregne arealet af et rektangel, så er der bevis for, at dens areal er lig med produktet af længden af bredden. Når det kommer til geometri, så alle de konstruktioner fremstilles under anvendelse af en lineal og kompas, og derefter forholdet mellem længde og bredde er en rationel værdi. Ved beregning af arealet af en retvinklet trekant kan bestemmes, at hvis du sætter en næste trekant, er et rektangel formet. I området af parallelogram beregnes som en lignende, men lidt mere kompliceret metode, inden for et rektangel og en trekant. I området af en polygon betragtes af trekanter indgår i den.

Ved bestemmelse af den nåde vilkårlig, denne fremgangsmåde ikke passer kurven. Hvis vi bryde det op i individuelle pladser, vil det fortsat være ubesatte pladser. I dette tilfælde forsøger at bruge to lag, med rektangler over og under, som følge af de indbefatter grafen for funktionen og omfatter ikke. Vigtigt her er en måde at bryde disse rektangler. Også, hvis vi tager pausen mere og mere reduceret, bør arealet af top og bund konvergere på en bestemt værdi.

Det skal returnere en fremgangsmåde til adskillelse i rektangler. Der er to populære metoder.

Riemann blev formaliseret definition af integralet, skabt af Leibniz og Newton, som arealet af delgraf. I dette tilfælde betragtes vi et tal, der består af et vist antal vertikale rektangler fremkommer ved at dividere interval. Når bryde et fald der er en grænse for, hvor den reducerede areal af en sådan figuren er denne grænse kaldes Riemann integralet af en funktion i et bestemt interval.

En anden fremgangsmåde er at konstruere Lebesgue integralet, der består i, at i stedet for adskillelse udpeget område på en del af integranden og udarbejdelse derefter integralet summen af værdierne opnået i disse dele, med mellemrum fordelte sin værdiinterval, og summeres derefter med de tilsvarende foranstaltninger inverse billeder af disse integrals.

moderne hjælpemidler

En af de vigtigste fordele for studiet af forskellen og integralregning Fikhtengol'ts skrev - "af forskellen og integralregning." Hans lærebog er et grundlæggende redskab for studiet af matematiske analyse, som modstod mange udgaver og oversættelser til andre sprog. Skabt til studerende og i lang tid brugt i en lang række uddannelsesinstitutioner som en af de vigtigste fordele ved undersøgelsen. Det giver teoretisk information og praktiske færdigheder. Udgivet første gang i 1948.

Algoritme forskning funktion

At udforske metoder til differentialregning funktion, skal du følge allerede givet algoritme:

1. Find det domæne af funktionen.
2. Find rødderne af den givne ligning.
3. Beregn ekstremerne. For at gøre dette, vi beregne differentialkvotienten og det punkt, hvor det er lig med nul.
4. Vi erstatter den opnåede værdi i Eq.

Sorter af differentialligninger

Kontrol af den første orden (ellers differentialregning af en variabel) og deres typer:

• Med adskillelige variabler ligning: f (y) dy = g (x) dx.
• Den enkleste ligning eller differentialregning funktion af en variabel, der har formlen: y '= f (x).
• Den lineære første ordens uensartet kontrol: y '+ P (x) y = Q (x).
• Bernoulli differentialligningen: y '+ P (x) y = Q (x) y a.
• Ligning samlede differentialer med: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

De differentialligninger af anden orden og deres typer:

• Homogen lineær anden ordens differentialligning med konstante ^{koefficienter: y n + py '+ qy} = 0 p, q tilhører R.
• Inhomogen lineær anden ordens differentialligning med konstante koefficienter ^{værdi: y n + py '+ qy} = f (x).
• Homogen lineær ^{differentialligning: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0, og inhomogen anden ordens ^{ligning: y n + p (x)} y' + q (x) y = f (x).

Differentialligninger af højere ordrer og deres typer:

• Differentialligningen, hvilket tillader reduktion af ^{ordren: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• En lineær ligning af højere orden ^{_{homogen: y (n) + f (}} n ₁₎ y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = 0, og ^{_{inhomogen: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x).

Stadier af at løse problemet med differentialligningen

Med hjælp fra fjernbetjeningen løses ikke kun matematik eller fysiske problemer, men også de forskellige problemer i biologi, økonomi, sociologi og andre. På trods af den brede vifte af emner, bør følge en enkelt logisk sekvens for at løse disse problemer:

1. Udarbejdelse kontrol. En af de mest vanskelige etaper, hvilket kræver maksimal nøjagtighed, fordi enhver fejl vil føre til helt forkerte resultater. Det er nødvendigt at tage hensyn til alle de faktorer, der påvirker processen og afgøre oprindelige betingelser. Det skal også være baseret på fakta og logiske konklusioner.
2. Måde at løse ligninger. Denne proces er lettere at det første punkt, da det kun kræver en streng gennemførelse af matematiske beregninger.
3. Analyse og evaluering af resultaterne. Afledt opløsning bør vurderes for installation af praktisk og teoretisk værdi af resultatet.

Et eksempel på anvendelsen af differentialligninger i medicin

Brug af fjernbetjeningen inden for medicin findes i opbygningen af epidemiologiske matematisk model. Vi må ikke glemme, at disse ligninger også findes i biologi og kemi, som er tæt på medicin, fordi det spiller en vigtig rolle i undersøgelsen af forskellige biologiske populationer og kemiske processer i den menneskelige krop.

I dette eksempel kan den epidemiske spredning af infektionen behandles i et isoleret samfund. Indbyggerne er opdelt i tre typer:

• Smittet, antallet af x (t), som bestod af individer, infektiøse bærere, som hver især er infektiøse (inkubationstiden er kort).
• Den anden type omfatter modtagelige individer y (t), kan blive inficeret af kontakt med inficeret.
• Den tredje type indbefatter ildfaste individer z (t), som er immun- eller tabt på grund af sygdom.

Antal individer hele tiden, holder fødsel, naturlige dødsfald og migration betragtes ikke. Kernen vil være to hypoteser.

Procent sygdommen på et tidspunkt er lig med x (t) y (t) (baseret antagelse på den teori, at antallet af tilfælde i forhold til antallet af skæringspunkter mellem patienter og responsive elementer, som i første tilnærmelse er proportional med x (t) y (t)), i derfor er antallet af tilfælde er stigende, og antallet af modtagelige aftager med en hastighed, der beregnes ved formlen ax (t) y (t) (a> 0).

Antallet af ikke-responders dyr, der døde eller erhvervede immunitet, øget med en hastighed, der er proportional med antallet af tilfælde, bx (t) (b> 0).

Som et resultat, kan du oprette et system af ligninger med alle de tre indikatorer på grundlag af sine konklusioner.

EKSEMPEL brug økonomi

Differentialregning bruges ofte i økonomisk analyse. Den vigtigste opgave i den økonomiske analyse anses for at være studiet af værdierne af økonomien, som er registreret i form af funktionen. Det bruges til at løse problemer såsom ændringer i stigninger indkomstskat umiddelbart efter, indmeldelsesgebyr, ændringer i indtægterne ved ændring af værdien af produktet, i hvilket omfang kan erstattes af pensionerede medarbejdere med nyt udstyr. For at løse sådanne problemer, er det nødvendigt at konstruere en meddelelse funktion af de indgående variable, som efter at være undersøgt af differentialregning.

er det ofte nødvendigt at finde den mest optimale ydeevne på det økonomiske område: maksimal produktivitet, den højeste indkomst, mindst omkostninger og så videre. Hver sådan bestanddel er en funktion af et eller flere argumenter. For eksempel kan produktionen blive betragtet som en funktion af arbejdskraft og kapital. I denne forbindelse, at finde en egnet værdi kan reduceres til at finde den maksimale eller minimale af en funktion af en eller flere variable.

Sådanne problemer skaber en klasse af extremale problemer på det økonomiske område, som du har brug for differentialregning. Når den økonomiske indikator er forpligtet til at minimere eller maksimere som en funktion af andre parametre, vil tilvækst forholdet maksimale punkt funktion til argumenterne tendens til nul, hvis forøgelsen af argumentet tendens til nul. Andet, når en sådan holdning tendens til en vis positiv eller negativ værdi, det angivne punkt er ikke egnet, fordi ved at forøge eller formindske det argument kan ændres afhængig værdi i den ønskede retning. I differentialregning terminologi, ville dette betyde, at de krævede betingelser for maksimal funktion er en nulværdi af dets derivat.

Økonomien er ikke ualmindeligt problemet med at finde den ekstremum af en funktion af flere variable, fordi økonomiske indikatorer består af mange faktorer. Sådanne spørgsmål er godt forstået i teorien om funktioner af flere variable, metoden til beregning af forskellen. Sådanne problemer indbefatter ikke kun maksimeret og minimeret funktion, men også begrænsninger. Disse spørgsmål vedrører matematisk programmering, og de er løst ved hjælp af specielt udviklede metoder er også baseret på denne gren af videnskaben.

Blandt metoderne til differentialregning anvendes i økonomien, et vigtigt afsnit er den ultimative test. På det økonomiske område, henviser udtrykket til et sæt af metoder til forskning med variabel ydelse og resultater, når du ændrer lydstyrken på skabelsen, forbrug, baseret på en analyse af deres grænseværdier. Begrænsende indikation anses derivat eller de partielle afledede med flere variable.

Differentialregning af flere variable - et vigtigt emne for matematisk analyse. For en detaljeret undersøgelse, kan du bruge en række af undervisningsmateriale til videregående uddannelsesinstitutioner. En af de mest berømte skabt Fikhtengol'ts - "af forskellen og integralregning." Hvor meget af det navn til løsning af differentialligninger af stor betydning at have færdigheder til at arbejde med integraler. Når der er en differentialregning af funktioner af én variabel, bliver beslutningen nemmere. Selv om det skal bemærkes, følger de samme grundregler. I praksis at undersøge funktionen af differentialregning, blot følge den allerede eksisterende algoritme, som er givet i gymnasiet, og kun en smule kompliceret med indførelsen af nye variabler.