En regelmæssig polygon. Antallet af sider af en regelmæssig polygon

Triangle, square, hexagon - disse tal er kendt for næsten alle. Men ikke alle ved, hvad en almindelig polygon er. Men disse er alle de samme geometriske figurer. En regelmæssig polygon er en, der har lige vinkler og sider. Der er mange sådanne tal, men de har alle samme egenskaber, og de samme formler gælder for dem.

Egenskaber for regelmæssige polygoner

Enhver regelmæssig polygon, det være sig en firkant eller en ottekant, kan indskrives i en cirkel. Denne grundlæggende egenskab bruges ofte til konstruktion af en form. Desuden kan cirklen også indskrives i en polygon. I dette tilfælde er antallet af kontaktpunkter lig med antallet af sider. Det er vigtigt, at en cirkel indskrevet i en regelmæssig polygon vil have et fælles center med det. Disse geometriske figurer er underlagt én sætning. Enhver side af en normal n-gon er forbundet med radiusen af den omkreds R, der omgiver den. Derfor kan den beregnes ved hjælp af følgende formel: a = 2R ∙ sin180 °. Gennem cirkelens radius finder du ikke blot siderne, men også polygonets omkreds.

Sådan finder du antallet af sider af en regelmæssig polygon

Enhver regelmæssig n-gon består af et antal lige store segmenter, der går sammen i en lukket linje. I dette tilfælde har alle vinklerne af den dannede figur samme værdi. Polygoner er opdelt i enkle og komplekse. Den første gruppe indeholder en trekant og en firkant. Komplekse polygoner har flere sider. De indeholder også stjernefigurer. For komplekse regelmæssige polygoner findes siderne ved at indskrive dem i en cirkel. Vi giver et bevis. Tegn en regelmæssig polygon med et vilkårlig antal sider n. Beskriv en cirkel omkring den. Angiv radius R. Forestil dig nu, at nogle n-gon er givet. Hvis punkterne i sine vinkler ligger i en cirkel og er lig med hinanden, så kan siderne findes med formlen: a = 2R ∙ sinα: 2.

Find antallet af sider af den indskrevne højre trekant

En ligesidet trekant er en regelmæssig polygon. Formler til det gælder det samme som for firkanten og n-gon. Trianglen vil blive betragtet som korrekt, hvis den har samme længde langs siden. Vinklerne er lig med 60 При. Vi konstruerer en trekant med en given længde af sider a. At kende dens median og højde, kan man finde betydningen af sine sider. For at gøre dette bruger vi metoden til at finde gennem formlen a = x: cosα, hvor x er medianen eller højden. Da alle sider af trekanten er ens, får vi a = b = c. Derefter vil følgende påstand holde: a = c = c = x: cosα. På samme måde kan man finde værdien af siderne i en enslig trekant, men x vil have en given højde. I dette tilfælde skal det projiceres strengt på basis af figuren. Således ved vi at kende højden x, finder vi siden a af et ensartet trekant med formlen a = b = x: cosa. Efter at have fundet værdien af a, kan vi beregne længden af basen c. Vi anvender Pythagoras sætning. Vi vil søge efter værdien af halvdelen af basen c: 2 = √ (x: cosα) ^ 2 - (x ^ 2) = √x ^ 2 (1 - cos ^ 2α): cos ^ 2α = x ∙ tgα. Så c = 2xtgα. På denne enkle måde kan man finde antallet af sider af enhver indskrevet polygon.

Beregning af sider af en firkant indskrevet i en cirkel

Som enhver anden indskrevet regelmæssig polygon har firkanten lige sider og vinkler. De samme formler gælder for det om trekanten. Beregn siderne af firkanten kan være gennem værdien af diagonalen. Lad os overveje denne metode mere detaljeret. Det vides at diagonalen deler vinklen i halvdelen. Oprindeligt var dens værdi 90 grader. Således dannes to rektangulære trekanter efter division . Deres hjørner ved basen vil være lig med 45 grader. Følgelig vil hver side af firkanten være ens, det vil sige: a = c = c = q = e ∙ cosα = e√2: 2, hvor e er firkantets diagonale eller bunden af den højre trekant dannet efter division. Dette er ikke den eneste måde at finde siderne på en firkant. Vi vil skrive denne figur i en cirkel. Kendskabet til denne cirkels radius R finder vi siden af pladsen. Vi beregner det som følger: a4 = R√2. Radierne af regelmæssige polygoner beregnes med formlen R = a: 2tg (360 ^o: 2n), hvor a er sidelængden.

Sådan beregnes omkredsen af en n-gon

Omkredsen af en n-gon er summen af alle dens sider. Beregn det er ikke svært. For at gøre dette skal du vide betydningen af alle parter. For visse typer polygoner er der specielle formler. De giver dig mulighed for at finde omkredsen meget hurtigere. Det er kendt, at enhver regelmæssig polygon har lige sider. Derfor er det nok at kende mindst en af dem for at beregne dens omkreds. Formlen afhænger af antallet af sider af figuren. Generelt ser det sådan ud: P = an, hvor a er sideværdien, og n er antallet af vinkler. For eksempel at finde omkredsen af en regelmæssig ottekant med en side på 3 cm, multiplicer den med 8, det vil sige P = 3 ∙ 8 = 24 cm. For en sekskant med en side på 5 cm skal du beregne: P = 5 ∙ 6 = 30 cm. Af hvert polygon.

Finde omkredsen af et parallelogram, en firkant og en rhombus

Afhængigt af hvor mange sider en regelmæssig polygon har, beregnes dens omkreds. Dette forenkler i høj grad opgaven. Når alt kommer til alt, i modsætning til andre figurer, behøver du ikke at kigge efter alle sider, kun en. Ved samme princip finder vi omkredsets omkreds, det vil sige kvadratet og rhombuset. På trods af at disse er forskellige tal, er formlen for dem P = 4a, hvor a er siden. Lad os give et eksempel. Hvis siden af diamanten eller firkanten er 6 cm, finder vi omkredsen på følgende måde: P = 4 × 6 = 24 cm. I parallelogrammet er kun de modsatte sider ens. Derfor er dens omkreds fundet ved hjælp af en anden metode. Så vi skal vide længden af a og bredden af figuren. Derefter anvender vi formlen P = (a + b) ∙ 2. Et parallelogram, hvor alle sider og vinkler er ens, hedder en rhombus.

Finde omkredsen af en ligesidet trekant og en ret trekant

Omkredsen af en regelmæssig ligesidet trekant findes ved formlen P = 3a, hvor a er sidelængden. Hvis det ikke er kendt, kan det findes gennem medianen. I en rektangulær trekant har kun to sider en ligeværdig værdi. Grundlaget kan findes gennem Pythagoras sætning. Når værdierne fra alle tre sider bliver kendt, beregnes omkredsen. Det kan findes ved at anvende formlen P = a + b + c, hvor a og b er lige sider, og c er basen. Husk at i et ensartet trekant a = b = a, så a + b = 2a, så P = 2a + c. For eksempel er den side af en enslig trekant 4 cm, vi finder sin base og omkreds. Vi beregner værdien af hypotenussen i henhold til Pythagoras sætning med c = √a ² + i ² = √16 + 16 = √32 = 5,65 cm. Beregn nu omkredsen P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.

Sådan finder du hjørnerne af en regelmæssig polygon

En daglig polygon opstår i vores liv hver dag, for eksempel en almindelig firkant, en trekant, en ottekant. Det ser ud til at intet er nemmere end at bygge denne figur selv. Men det er bare ved første øjekast. For at konstruere nogen n-gon er det nødvendigt at kende værdien af dets vinkler. Men hvordan finder man dem? Selv gamle forskere forsøgte at bygge regelmæssige polygoner. De gættede at passe dem i en cirkel. Og så markerede de de nødvendige punkter på det, forbund dem med lige linjer. For enkle figurer blev byggeproblemet løst. Formler og sætninger blev opnået. For eksempel var Euclid i sit berømte værk "The Beginning" engageret i at løse problemer for 3-, 4-, 5-, 6- og 15-gons. Han fandt måder at konstruere og finde vinkler på. Overvej hvordan man gør dette til en 15-gon. Først skal du beregne summen af sine indre vinkler. Det er nødvendigt at bruge formlen S = 180 ° (n-2). Så får vi en 15-gon, så tallet n er 15. Vi erstatter de data, der er kendt for os i formlen, og får S = 180 ° (15-2) = 180 ° x 13 = 2340 °. Vi fandt summen af alle de indvendige vinkler af en 15-gon. Nu skal du få værdien af hver af dem. Samlede vinkler 15. Gør beregningen af 2340 °: 15 = 156 °. Derfor er hver indre vinkel 156 °, nu med hjælp af linjal og kompas kan du konstruere den korrekte 15-gon. Men hvad med de mere komplekse n-gons? I mange århundreder har forskere kæmpet for at løse dette problem. Det blev først fundet i det 18. århundrede af Carl Friedrich Gauss. Han kunne bygge 65537-gon. Siden da er problemet officielt betragtet som fuldt ud løst.

Beregning af n-gons vinkler i radianer

Selvfølgelig er der flere måder at finde polygonernes vinkler på. Oftest beregnes de i grader. Men du kan udtrykke dem i radianer. Hvordan gør man det? Det er nødvendigt at fortsætte som følger. Først finder vi ud af antallet af sider af en regelmæssig polygon, så trækker den fra den 2. Så får vi værdien: n - 2. Multiplicer forskellen med n ("pi" = 3,14). Nu er det kun at dividere det opnåede produkt med antallet af vinkler i n-gonen. Overvej disse beregninger på et eksempel på den samme femten-hjørne trekant. Så er tallet n 15. La oss anvende formlen S = n (n - 2): n = 3,14 (15-2): 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Dette er selvfølgelig ikke den eneste måde at beregne vinklen i radianer på. Du kan simpelthen dele størrelsen af vinklen i grader ved nummer 57.3. Så mange gange svarer så mange grader til en radon.

Beregning af vinklerne i grader

Ud over grader og radianer kan du prøve at finde vinklerne af en regelmæssig polygon i hagl. Dette gøres som følger. Fra det samlede antal vinkler, trække 2, divider den resulterende forskel med antallet af sider af den almindelige polygon. Resultatet multipliceres med 200. Forresten er en sådan måleenhed af vinkler, som hagl, praktisk taget ikke brugt.

Beregning af n-gons ydre vinkler

For enhver regelmæssig polygon, ud over den indre, er det også muligt at beregne ydervinklen. Dens betydning findes på samme måde som for resten af figurerne. Så for at finde det ydre hjørne af en regelmæssig polygon, skal du kende betydningen af det indre polygon. Videre ved vi, at summen af disse to vinkler altid er 180 grader. Derfor udfører vi beregningerne som følger: 180 ° minus værdien af den indvendige vinkel. Vi finder forskellen. Det vil være lig med værdien af vinklen der grænser op til den. F.eks. Er det indre hjørne af firkanten 90 grader, så er det ydre hjørne 180 ° -90 ° = 90 °. Som vi ser, er det ikke svært at finde det. Den eksterne vinkel kan tage en værdi fra + 180 ° til henholdsvis -180 .