Geometrisk progression. Eksempel til beslutning

Overvej en række.

7 28 112 448 1792 ...

Helt klart viser, at værdien af dens elementer mere end de tidligere præcis fire gange. Så denne serie er en progression.

geometrisk række kaldet uendelig sekvens af tal, det vigtigste træk er, at følgende antal opnås fra ovennævnte ved at multiplicere med nogle bestemt antal. Dette udtrykkes ved følgende formel.

_{en z + 1 = en z · q} , hvor z - nummeret på det valgte element.

Følgelig z ∈ N.

En tid, hvor skolen studeres geometrisk progression - 9. klasse. Eksempler vil hjælpe forstå konceptet:

0,25 0,125 0,0625 ...

18 6 februar ...

Baseret på denne formel, kan progressionen af nævneren findes som følger:

Hverken q, eller b for _z kan ikke være nul. Også hver af elementerne i en række tal bør progression ikke være nul.

Følgelig at se det næste nummer af et antal, multipliceres sidstnævnte ved q.

For at definere denne progression, skal du angive det første element i det og nævneren. Derefter er det muligt at finde nogen af følgende medlemmer og deres størrelse.

arter

Afhængigt af q og en _{1 er} denne progression opdelt i flere typer:

• Hvis en _1, og q er større end en, så en sekvens - stigende med hver efterfølgende element i en geometrisk progression. Eksempler derpå er beskrevet nedenfor.

Eksempel: a ₁ = 3, q = 2 - større end enhed, begge parametre.

Så en sekvens af tal kan skrives som:

3 6 12 24 48 ...

• Hvis | q | mindre end én, dvs. det er ækvivalent med multiplikation med division, progression med lignende betingelser - faldende geometrisk progression. Eksempler derpå er beskrevet nedenfor.

Eksempel: a ₁ = 6, q = 1/3 - ₁ er større end én, q - mindre.

Så en sekvens af tal kan skrives på følgende måde:

2 juni 2/3 ... - ethvert element flere elementer efter det, er 3 gange.

• Skiftende. Hvis q <0, tegnene på antallet af sekvensen vekslende konstant uanset en _1, og elementerne i enhver stigning eller fald.

Eksempel: a ₁ = -3, q = -2 - begge er mindre end nul.

Så en sekvens af tal kan skrives som:

3, 6, -12, 24, ...

formel

Til praktisk brug, er der mange geometrisk række af formlerne:

• Formel z-th sigt. Det giver mulighed for beregning af grundstoffet i et bestemt antal uden beregning de tidligere tal.

Eksempel: q = 3, a = ₁ 4. forpligtet til at beregne et fjerde element progression.

Opløsning: a = ₄ 4 3 · ^4-1 · 3 = 4 ³ = 4 · 27 = 108.

• Summen af de første elementer, hvis antal er lig med z. Det giver mulighed for beregning af summen af alle elementer i en sekvens til en _z inklusive.

≠ 0, således, q ikke 1 - (q 1) Siden (1- q) er i nævneren, da.

Bemærk: hvis q = 1, så progressionen ville have udgjort en række endeløst gentage nummeret.

Beløb eksponentielt eksempler: en ₁ = 2, q = -2. Beregn S _5.

Opløsning: S ₅ = 22 - beregningsformel.

• Beløb, hvis | q | <1, og når z går mod uendelig.

Eksempel: en ₁ = _2, q = 0,5. Find summen.

Opløsning: S _z = 2 x = 4

Hvis vi beregne summen af flere medlemmer af manualen, vil du se, at det faktisk er forpligtet til fire.

S _z = 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 3,9375 4

Nogle egenskaber:

• Et karakteristisk egenskab. Hvis følgende betingelse Det gælder for enhver z, derefter givet en numerisk serie - en geometrisk progression:

en _z ² = A _{z -1} · En _{z + 1}

• Det er også kvadratet på et vilkårligt antal er eksponentielt ved hjælp af tilsætning af kvadraterne af de to andre numre i en given række, hvis de er lige langt fra elementet.

² en _z = en _{z - ^t2 +} en _z + _^t2 hvor t - afstanden mellem disse numre.

• Elementerne afvige q gange.
• Logaritmerne til elementer af progression samt danne en progression, men det aritmetiske, dvs. hver af dem mere end den foregående med et bestemt antal.

Eksempler på nogle klassiske problemer

For bedre at forstå, hvad en geometrisk progression, med eksemplerne beslutningsprocesser for 9. klasse kan hjælpe.

• Vilkår og betingelser: a ₁ = 3, ₃ = 48. Find q.

Opløsning: hvert successivt element i mere end den tidligere q tid. Det er nødvendigt at udtrykke nogle elementer gennem andre via nævneren.

Følgelig en ₃ = q ² · a ₁

Ved udskiftning q = 4

• Betingelser: a ₂ = 6, a = ₃ 12. Beregn S _6.

Løsning: For at gøre dette, er det tilstrækkeligt at finde q, det første element og stedfortræder i formlen.

en ₃ = q · en _{2 følgelig} q = 2

en ₂ = q · A _1, så a = ₁ 3

S = ₆ 189

• · A ₁ = 10, q = -2. Find det fjerde element af progression.

Løsning: Det er nok til at udtrykke det fjerde element gennem det første og gennem nævneren.

₄ en ³ = q · a = ₁ -80

Anvendelseseksempel:

• Bank klient har bidraget summen af 10.000 rubler, i henhold til hvilken hvert år klienten til hovedstolen vil blive tilføjet 6% af det selv. Hvor mange penge er på kontoen efter 4 år?

Løsning: Den oprindelige beløb svarende til 10 tusind rubler. Så vil et år efter investeringerne i kontoen være et beløb svarende til 10000 + 10000 = 10000 · 0,06 · 1,06

Følgelig beløbet i konto, selv efter et år vil blive udtrykt på følgende måde:

(10000 · 1,06) · 10000 · 0,06 + 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Det vil sige, hvert år beløbet steget til 1,06 gange. Derfor, for at finde nummeret på kontoen efter 4 år, er det tilstrækkeligt at finde et fjerde element progression, som er givet første element lig med 10 tusind, og nævneren lig med 1,06.

S = 1,06 · 1,06 · 1,06 · 1,06 · 10000 = 12625

Eksempler på problemer i beregningen af summen af:

I forskellige problemer ved hjælp af geometrisk progression. Et eksempel på at finde summen kan indstilles på følgende måde:

en ₁ = 4, q = 2, beregne S _5.

Løsning: alle de nødvendige data til beregning er kendt, skal du blot erstatte dem i formlen.

S ₅ = 124

• en ₂ = 6, a = ₃ 18. Beregn summen af de første seks elementer.

opløsning:

Den Geom. forløbet af hvert element i den næste større end de tidligere q gange, det vil sige, at beregne det beløb, du har brug for at vide elementet en ₁ og nævneren q.

en ₂ · q = a ₃

q = 3

Ligeledes at det er nødvendigt at finde en _{1, 2} og vidende q.

en ₁ · q = _a2

en ₁ = 2

Og så er det tilstrækkeligt at erstatte de kendte data i formlen beløb.

S ₆ = 728.