Maclaurin og nedbrydning af visse funktioner

At studere avanceret matematik skal være opmærksom på, at summen af en magt serie i intervallet konvergensen af en række af os, er en kontinuerlig og ubegrænset antal gange, en differentieret funktion. Spørgsmålet er: er det muligt at argumentere for, at givet en vilkårlig funktion f (x) - er summen af en magt-serien? Det vil sige, under hvilke betingelser den f-tioner f (x) kan repræsenteres af en power-serie? Betydningen af dette spørgsmål er, at det er muligt at erstatte ca. £ Theological f (x) er summen af de første par form af en magt-serien, der er et polynomium. Sådan udskiftning funktion er ganske enkel udtryk - polynomium - er praktisk og løse bestemte problemer i matematisk analyse, nemlig at løse integraler ved beregningen differentialligninger , osv ...

Det er bevist, at for nogle f-ii f (x), hvor derivaterne af (n + 1) 'te orden kan beregnes, herunder den nyeste i nærheden af (α - R; x ₀ + R) på et punkt x = α rimelig formel er:

Denne formel er opkaldt efter den berømte videnskabsmand Brooke Taylor. Et antal som er afledt af den foregående, kaldes en Maclaurin serie:

En regel, der gør det muligt at producere ekspansion i en Maclaurin serie:

1. Bestem derivater af første, anden, tredje, ... rækkefølge.
2. Beregne, hvad er derivater ved x = 0.
3. Optag Maclaurin serien for denne funktion, og derefter at bestemme intervallet konvergens.
4. Bestemme interval (-R, R), hvor den resterende del med formlen Maclaurin

_Rn (x) -> 0 for n -> uendelig. Hvis et sådant findes, skal den funktion f (x) være lig med summen af Maclaurin serien.

Betragt nu den Maclaurin serie for de enkelte funktioner.

1. Således er den første til at være f (x) = e ^x. Naturligvis, at deres karakteristika f-Ia har udledt en række ordrer, og f ^{(k) (x)} = e ^x, hvor k er lig med alle de naturlige tal. Erstatning x = 0. Vi får f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... På grundlag af ovenstående, et antal e ^x Det vil være som følger:

2. Maclaurin serie for funktionen f (x) = sin x. specificere straks at f-tioner til alle ukendte derivater vil have, udover f ^'(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{f' '(x)} = -sin x = sin (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), hvor k er lig med nogen positivt heltal. Det vil sige, at lave simple beregninger, kan vi konkludere, at serien for f (x) = sin x vil være sådan her:

3. Lad os nu betragte IJU f-f (x) = cos x. Det er ukendt for alle derivater af vilkårlig rækkefølge, og ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Igen, have det lavet nogle beregninger, finder vi, at serien for f (x) = cos x vil se sådan ud:

Så har vi listet de vigtigste funktioner, der kan udvides i en Maclaurin serie, men de supplerer Taylorrækken til visse funktioner. Nu vil vi nævne dem så godt. Det skal også bemærkes, at Taylor-serien og Maclaurin serien er en vigtig del af workshoppen række beslutninger i højere matematik. Så Taylor serie.

1. Den første er en serie af f-ii f (x) = ln (1 + x). Som i de foregående eksempler, for vi f (x) = ln (1 + x) kan foldes et nummer, anvendelse af den generelle form af Maclaurin serien. men for denne funktion kan fås Maclaurin meget lettere. Integrere en geometrisk serie, vi opnå et antal for f (x) = ln (1 + x) af prøven:

2. Og den anden, som vil være endelig i denne artikel, vil være en række for f (x) = arctg x. For x tilhører intervallet [-1, 1] er gyldig spaltning:

Det er alt. I denne artikel har jeg undersøgt de mest anvendte Taylor serie og Maclaurin serie i højere matematik, især på det økonomiske og tekniske skoler.