Rødderne af en andengradsligning: algebraiske og geometriske betydning

I algebra firkant kaldes en andenordens ligning. Ved ligning indebærer et matematisk udtryk, som har i sin sammensætning af et eller flere ukendte. Andenordens ligning - en matematisk ligning, der har mindst én ubekendt i firkantede grader. Andengradsligning - anden ordens ligning viste identitet med betyde lig med nul. Løs ligningen pladsen er den samme, som bestemmer de firkantede rødder af ligningen. Typisk andengradsligning i den generelle form:

W * c ^ 2 + T * c + O = 0

hvor W, T - koefficienterne for rødderne af andengradsligning;

O - fri koefficient;

c - roden af den kvadratiske ligning (altid har to værdier c1 og c2).

Som allerede nævnt, er problemet med at løse en andengradsligning - finde rødderne af en andengradsligning. For at finde dem, du har brug for at finde en diskriminant:

N = T ^ 2 - 4 * W * O

De diskriminantværdierne formler, der er nødvendige for at finde løsninger rod C1 og C2:

c1 = (-T + √n) / 2 * W og c2 = (-T - √n) / 2 * W

Hvis andengradsligning med den almene formfaktor ved roden af T har en multipel værdi, bliver ligningen således:

W * c ^ 2 + 2 * U * c + O = 0

Og dens rødder ligne udtrykket:

c1 = [-U + √ (U ^ 2-W * O)] / W og c2 = [-U - √ (U ^ 2-W * O)] / W

Ofte ligning kan have en lidt anderledes udseende, når C_2 måske ikke har nogen koefficient W. I dette tilfælde ovenstående ligning har formen:

c ^ 2 + K * c + L = 0

hvor F - faktor ved roden;

L - fri faktor;

c - roden af kvadratet (altid har to værdier c1 og c2).

Denne type ligning kaldes en andengradsligning givet. Navnet "reduceret" gik fra formel aktivering typisk andengradsligning, hvis koefficienten af W rod har en værdi på én. I dette tilfælde rødderne af den kvadratiske ligning:

c1 = -F / 2 + √ [(F / 2) ^ 2-L)] og c2 = -F / 2 - √ [(F / 2) ^ 2-L)]

I tilfælde af selv værdier af koefficienten af F root rødderne vil have en løsning:

c1 = -F + √ (F ^ 2-L) c2 = -F - √ (F ^ 2-L)

Hvis vi taler om kvadratiske ligninger, er det nødvendigt at minde om sætning af Beliggenhed. Det hedder, at følgende love for den reducerede andengradsligning:

c ^ 2 + K * c + L = 0

c1 + c2 = -F og c1 * c2 = L

Generelt andengradsligning andengradsligning rødder er relaterede afhængigheder:

W * c ^ 2 + T * c + O = 0

c1 + c2 = -T / W og c1 * c2 = O / W

Nu overveje mulighederne for kvadratiske ligninger og deres løsninger. Alle af dem kan være to, som om der mangler et medlem af c_2, så ligningen vil ikke være firkantet. derfor:

1. W * c ^ 2 + T * c = 0 i andengradsligning udførelsesform uden fri faktor (element).

Løsningen er:

W * c ^ 2 = -T * c

c1 = 0, c2 = -T / W

2. W * c ^ 2 + O = 0 i andengradsligning udførelsesform uden det andet udtryk, når det samme modulo rødderne af andengradsligning.

Løsningen er:

W * c ^ 2 = -O

c1 = √ (O / W), c2 = - √ (O / W)

Alt dette var algebra. Overvej den geometriske betydning, som har en andengradsligning. den anden ordens ligning i geometrien beskrives af en parabel funktion. ganske ofte opgaven er at finde rødderne af en andengradsligning for gymnasieelever? Disse rødder giver begrebet hvordan man skærer graffunktionen (parabel) med koordinataksen - vandret. Hvis, efter at have besluttet andengradsligning, får vi det irrationelle beslutning af rødderne, vil ikke så krydset. Hvis roden har en fysisk værdi, funktionen krydser x-aksen på ét sted. Hvis de to rødder, så henholdsvis - to skæringspunkter.

Det er værd at bemærke, at under de irrationelle rødder indebærer en negativ værdi under roden, ved roden fund. Fysisk værdi - nogen positiv eller negativ værdi. I tilfælde af at finde kun én rod betyde, at rødderne af det samme. Orienteringen af kurven i et kartesisk koordinatsystem kan også være forud bestemt af koefficienter for W rødder og T. Hvis W har en positiv værdi, er de to grene af parabolen rettet opad. Hvis W har en negativ værdi, - nedad. Også, hvis koefficienten B har et positivt fortegn, hvor W er også positivt, toppunkt parabel funktion er inden for "y" fra "-" til uendelig "+" uendelig, "c" i området fra minus uendelig til nul. Hvis T - positiv værdi, og W - er negativ, på den anden side af abscissen.