Differentialer - hvad er det? Sådan finder differentialet af funktionen?

Sammen med derivater deres funktioner differentialer - IT nogle af de grundlæggende begreber i differentialregning, hovedafsnittet af matematisk analyse. Som uløseligt forbundet, både af dem flere århundreder meget udbredt i at løse næsten alle problemer, der opstod i løbet af den videnskabelige og tekniske aktivitet.

Fremkomsten af begrebet forskellen

For første gang gjort det klart, at en sådan differentieret, en af grundlæggerne (sammen med Isaakom Nyutonom) differentialregning berømte tyske matematiker Gotfrid Vilgelm Leybnits. Inden da matematikere 17. århundrede. brugt meget uklart og vag idé om nogle uendelig lille "udelt" af en eller kendt funktion, der repræsenterer en meget lille konstant værdi, men ikke lig med nul, under hvilke værdier funktionen kan ikke være enkelt. Derfor var det kun et trin til indførelse af begreberne uendeligt trin på funktionsargumenter og deres respektive intervaller af de funktioner, der kan udtrykkes i form af derivater af sidstnævnte. Og dette skridt blev taget næsten samtidig de ovenstående to store videnskabsmænd.

På baggrund af behovet for at løse presserende praktiske mekanik problemer, som konfronterer videnskab hastig udvikling industri og teknologi, Newton og Leibniz skabte de fælles måder at finde graden af ændring af funktioner (især med hensyn til den mekaniske hastighed af kroppen af den kendte bane), som førte til indførelsen af sådanne begreber, som den afledte funktion og differentialet, og også fundet algoritme inverse problemløsninger som selv kendt (variabel) hastigheder gennemløbes for at finde den vej, der har ført til begrebet integreret Ala.

I værker af Leibniz og Newtons idé viste det sig først, at de forskelle - er proportional med forøgelsen af de grundlæggende argumenter Ah intervaller Au funktioner, der kan med held anvendes til at beregne værdien af sidstnævnte. Med andre ord har de opdaget, at en stigning funktion kan være i ethvert punkt (på sit domæne af definition) er udtrykt gennem dets derivat både Au = y '(x) Ah + αΔh hvor α Ah - resten, tendens til nul som Ah → 0, meget hurtigere end den faktiske Ah.

Ifølge grundlæggerne af matematisk analyse, differentialer - det er præcis det første udtryk i intervaller på nogen funktioner. Endda uden at have et klart definerede grænse koncept sekvenser forstås intuitivt at differensværdien af derivatet tendens at fungere, når Ah → 0 - Au / Ah → y '(x).

Modsætning Newton, som primært var en fysiker og matematisk apparat betragtes som et hjælpeværktøj for studiet af fysiske problemer, Leibniz mere opmærksom på denne værktøjskasse, herunder et system af visuelle og forståelige symboler matematiske værdier. Det var ham, der foreslog standardnotation af differentialer funktion dy = y '(x) dx, dx, og derivat af argumentet funktion som deres forhold y' (x) = dy / dx.

Den moderne definition

Hvad er forskellen i forhold til moderne matematik? Det er nært beslægtet med begrebet en variabel tilvækst. Hvis variablen y tager en første værdi af y y = _1, så y = y ₂ er forskellen _y2 ─ _y1 kaldet intervalværdien y. Forøgelsen kan være positiv. negativ og nul. Ordet "tilvækst" betegnes Δ, Au optagelse (læs 'delta y') angiver værdien af tilvækst y. så Au = _y2 ─ _y1.

Hvis værdien Au vilkårlig funktion y = f (x) kan repræsenteres som Au = A Ah + α, hvor A er ingen afhængighed Ah, t. E. A = const for den givne x, og udtrykket α når Ah → 0 tendens til det er endnu hurtigere end den faktiske Ah, så den første ( "master") et udtryk proportional Ah, og er for y = f (x) differentiale, betegnet dy eller df (x) (læs "y de", "de eff fra X"). Derfor differentialer - en "main" lineær med hensyn til komponenterne i intervaller AH funktioner.

mekanisk forklaring

Lad s = f (t) - afstanden i lige linie bevæger materiale punkt fra udgangsstillingen (t - rejsetid). Increment As - er den måde punkt under et tidsinterval At, og de differentielle ds = f '(t) At - denne vej, hvilket punkt ville finde sted i det samme tidsrum At, hvis den beholdt hastigheden f' (t), nås på tidspunktet t . Når et uendeligt lille At ds imaginære bane afviger fra de faktiske As forsvindende har en højere orden med hensyn til At. Hvis hastigheden på tidspunktet t ikke er lig med nul, den omtrentlige værdi ds giver lille skævhed punkt.

geometrisk fortolkning

Lad linjen L er grafen for y = f (x). Derefter Δ x = MQ, Au = QM '(jf. Figur nedenfor). Tangent MN bryder Au skåret i to dele, QN og NM'. Første og Ah er proportional QN = MQ ∙ tg (vinkel QMN) = Ah f '(x), t. E QN er dy differentiale.

Den anden del af forskellen Au NM'daet ─ dy, når Ah → 0 NM længde 'aftager endnu hurtigere end forøgelsen af argumentet, dvs. det har rækkefølgen af beskedne højere end Ah. I dette tilfælde, hvis f '(x) ≠ 0 (ikke-parallel tangent OX) segmenter QM'i QN ækvivalente; med andre ord NM 'falder hurtigt (kendelse af beskedne af dens højere) end den samlede forøgelse Au = QM'. Dette er tydeligt i figur (nærmer segment M'k M NM'sostavlyaet alle mindre procentdel QM 'segment).

Så grafisk differential vilkårlig funktion er lig med tilvæksten i ordinaten af tangenten.

Derivatet og forskellen

En faktor i den første periode, ekspression tilvækst funktion er lig med værdien af dets derivat f '(x). Således følgende ligning - dy = f '(x) Ah eller df (x) = f' (x) Ah.

Det er kendt, at forøgelsen af den uafhængige argument er lig med dens forskellen Ah = dx. Derfor kan vi skrive: f '(x) dx = dy.

At finde (undertiden siges at være den "afgørelse") differentialer er udført af de samme regler som for derivaterne. En liste over dem er angivet nedenfor.

Hvad er mere universel: tilvæksten af argumentet eller dens differential

Her er det nødvendigt at foretage nogle præciseringer. Repræsentation værdi f '(x) forskellen Ah muligt, når man overvejer x som et argument. Men funktionen kan være en kompliceret, hvori x kan være en funktion af argumentet t. Derefter afbildningen af differentiel ekspression af f '(x) Ah, som regel er det umuligt; undtagen i tilfælde af lineær afhængighed x = ved + b.

Som til formlen f '(x) dx = dy, så i tilfælde af uafhængige argument x (herefter dx = Ah) i tilfælde af den parametriske afhængighed af x t, det er forskellen.

For eksempel udtrykket 2 x Ah er for y = x ² sin forskellen når x er et argument. Vi nu x = t ² og antager t argument. Derefter y = x ² = t ^4.

Dette efterfølges af (t + At) ² = ^t2 + 2tΔt + ^At2. Derfor Ah = 2tΔt + ^At2. Derfor: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + ^At2).

Dette udtryk er ikke proportional med At, og derfor er nu 2xΔh ikke differential. Det kan findes fra ligningen y = x ² = t ^4. Den er lig dy = 4t ³ At.

Hvis vi tager udtrykket 2xdx, er den differentielle y = x ² for ethvert argument t. Faktisk, når x = ^t2 opnå dx = 2tΔt.

Så 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. Ekspressionsniveauerne differentialer registreret af to forskellige variabler sammenfaldende.

Udskiftning intervaller differentialer

Hvis f '(x) ≠ 0, så Au og dy ækvivalent (når Ah → 0); hvis f '(x) = 0 (betydning og dy = 0), de er ikke ækvivalente.

For eksempel, hvis y = x ^2, så Au = (x + Ah) ² ─ x ² = 2xΔh + Ah ² og dy = 2xΔh. Hvis x = 3, så har vi Au = 6Δh + Ah ² og dy = 6Δh der er ækvivalente på grund Ah ² → 0, når x = 0 værdi Au = Ah ² og dy = 0 ikke er ækvivalente.

Dette sammen med den enkle struktur af forskellen (m. E. Linearitet med hensyn til Ah), anvendes ofte i omtrentlig beregning, ud fra den antagelse, at Au ≈ dy for små Ah. Find den differentierede funktion er som regel lettere end at beregne den nøjagtige værdi af tilvæksten.

For eksempel har vi metallisk kube med kant x = 10,00 cm. På opvarmning kanten forlænget på AH = 0,001 cm. Hvordan øget volumen terning V? Vi har V = x ^2, således at dV = 3x ² = Ah 3 ∙ ∙ februar ¹⁰ 0/01 = 3 ^(cm3). Øget AV ækvivalent forskellen dV, således at AV = 3 ^cm3. Fuld beregning ville give ³ AV = 10,01 ─ ^10. marts = 3,003001. Men resultatet af alle cifre undtagen den første upålidelige; Derfor er det stadig nødvendigt at runde op til 3 ^cm3.

Naturligvis er denne fremgangsmåde kun nyttig, hvis det er muligt at anslå værdien bibragt fejl.

Differential funktion: eksempler

Lad os prøve at finde forskellen på funktionen y = x ^3, at finde den afledede. Lad os give det argument tilvækst Au og definere.

Au = (AH + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Ah (Ah 3xΔh ² + ^3).

Her, betyder koefficienten A = 3x ² ikke afhænge Ah, således at den første periode er proportional Ah, det andet medlem 3xΔh Ah ² + ³ når Ah → 0 aftager hurtigere end forøgelsen af argumentet. Følgelig et medlem af 3x ² Ah er forskellen for y = x ^3:

dy = 3x ² AH = 3x ² dx eller d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Hvori d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy Vi finder nu funktionen y = 1 / x af den afledede. Derefter d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Derfor dy = ─ Ah / x ^2.

Differentialer grundlæggende algebraiske funktioner er angivet nedenfor.

Omtrentlige beregninger ved hjælp differential

For at evaluere funktionen f (x), og dens afledte f '(x) ved x = a er ofte vanskeligt, men at gøre det samme i nærheden af x = a er ikke let. Så kom til hjælp af den omtrentlige udtryk

f (a + Ah) ≈ f '(a) Ah + f (a).

Dette giver en omtrentlig værdi for funktionen ved små stigninger gennem sin forskellen Ah f '(a) Ah.

Derfor denne formel giver et omtrentligt udtryk for funktionen ved slutpunktet af en del af en længde Ah som en sum af dens værdi ved udgangspunktet af delen (x = a), og forskellen i samme udgangspunkt. Nøjagtighed af metoden til bestemmelse af værdierne af funktionen nedenfor illustrerer tegningen.

Imidlertid kendt, og den nøjagtige udtryk for værdien af funktionen x = a + Ah givet ved formlen finite intervaller (eller alternativt Lagrange formel)

f (a + Ah) ≈ f '(ξ) DH + f (a),

hvor punktet x = a + ξ er beliggende i intervallet fra x = a til x = a + Ah, selv om dens nøjagtige position er ukendt. Den nøjagtige formel gør det muligt at vurdere fejl den omtrentlige formel. Hvis vi sætter i Lagrange formel ξ = Ah / 2, selvom det ophører med at være nøjagtige, men giver som regel, en langt bedre tilgang end den oprindelige udtryk med hensyn til forskellen.

Evaluering formler fejl ved at anvende forskellen

Måleinstrumenter , i princippet, unøjagtige, og bringe til måledata, der svarer til fejlen. De er karakteriseret ved at begrænse den absolutte fejl, eller, kort sagt, grænsen fejl - positiv, klart ud over de fejl i absolut værdi (eller højst lig med det). Begrænsning den relative fejl kaldes kvotienten opnået ved at dividere den med den absolutte værdi af den målte værdi.

Lad nøjagtige formel y = f (x) funktion anvendes til vychislyaeniya y, men værdien af x er måleresultatet, og derfor bringer y fejl. Derefter, for at finde den begrænsende absolutte fejl │Δu│funktsii y, ved anvendelse af formlen

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

hvor │Δh│yavlyaetsya marginale fejl argument. │Δu│ mængde bør afrundet opad, som unøjagtig beregning selv er udskiftningen af den tilvækst på differentialudregning.